車両走行モデルの時間応答の確認

はじめに

状態方程式から離散化した逐次式へ で求めた離散化した逐次式

を用いて車両走行モデルの時間応答の確認（シミュレーション）をしていきます。

車両走行モデル

加速度、速度、走行距離の関係は、それぞれ微分の関係になります。これらを状態方程式にまとめて車両の走行モデルにしていきます。

移動体の加速度、速度、走行距離の関係

\[\hspace{0.2cm}\text{加速度}\hspace{0.5cm} \frac{dV}{d t}=A \hspace{0.5cm} \text{速度}\hspace{0.5cm}\frac{dL}{d t}=V\]

ここで扱う仮想の車両システムは、加速指示Acmdに対して車両の加速度Aが一次遅れで追従するモデルとします。（実際の車両の加速度は駆動力と走行抵抗で決まりますが、ここでは仮想的な車両をモデルとして扱います。実際の車両のモデルは後ほど説明します。）
\[ \text{加速指示の応答} \hspace{0.5cm} \frac{d}{dt}A=-\frac{1}{T}A+\frac{1}{T}A_{cmd} \hspace{0.5cm} T\text{は時定数} \]
加速指示Acmdから加速度、速度、走行距離の関係をまとめると、下記の状態方程式の形にモデル化できます。

\[ \frac{d}{dt} \left[ \begin{array}{l}
L \\
V \\
A
\end{array} \right]= \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -\frac{1}{T}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
L \\
V \\
A \end{array} \right]
+\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\frac{1}{T}\end{array} \right] A_{cmd} \]

状態方程式を離散化した逐次式に変換

車両走行モデルの状態方程式を逐次式に変換します。
こちらよりExcelファイルをダウンロードできます。

Excelの状態方程式のシートでは下記のように離散化した逐次式のPとQを計算しています。

車両走行モデルではAが3×3行列ですが、行列の積の関数MMULTや逆行列の関数MINVERSEを使うことで、離散化した逐次式のPとQを計算できます。また、逐次式にすることによりExcelでのシミュレーションが容易になります。

関数MMULTとMINVERSEについて

行列の積はMMULT関数、逆行列はMINVERSE関数を使いますがちょっと癖があります。
MMULT関数は、掛け合わせる2つの行列を選択してから[Ctrl]+[Shift]+[Enter] で確定になります。また、逆行列のMINVERSE関数も行列を選択してから[Ctrl]+[Shift]+[Enter] で確定になります。

時間応答の確認

Excelのシミュレーションのシートでは、状態方程式のシートで計算した逐次式のPとQを使い、下に示すように逐次式\[x(t+Δt)=Px(t)+Qu(t)\]によって時間応答を計算しています。Excelの1行が離散時間Δtです。

行列演算をEXCELシート上に展開

行列P,Qと状態変数のL,V,A、入力のAcmdの行列演算をEXCELシート上に展開して時間応答を求めています。